Teori Peluang
Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Definisi kejadian :
Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
Definisi peluang :
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan
Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.
Contoh :
Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :
• Munculnya mata dadu ganjil
• Munculnya mata dadu genap
• Munculnya mata dadu prima
Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah
Atau:
Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :
Contoh:
Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?
Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah
Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.
Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :
Contoh:
1. Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang :
a. munculnya mata dadu bilangan asli
b. munculnya mata dadu 7
Jawab :
a. Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian.
b. Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan
2. Dua buah dadu kubus homogen bermata enam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah peluang munculnya mata dadu tidak berjumlah 12 ?
Jawab :
Banyaknya ruang sampel percobaan tersebut ada 36 kejadian, sedang kejadian muncul mata dadu berjumlah 12 ada 1 kejadian yaitu (6,6), sehingga :
Parameter Statistika
Parameter statistika merupakan kerakteristik dari hasil pengukuran suatu objek. Ukuran parameter statistika dihitung dari data sampel atau populasi. Parameter statistika yang seiring digunakan dalam analisis statistika adalah rata-rata, varian atau deviasi standar, dan korelasi.
Rata-rata adalah nilai yang dapat mewakili besaran dari objek yang diamati. Rata-rata dapat diartikan juga sebagai ukuran data yang mendominasi dari seluruh data. Dalam komputasinya, rata-rata dapat ditentukan dengan cara nilai tengah, dan nilainya dihitung dengan cara rata-rata hitung, median, dan modus. Ketiga ukuran tersebut mempunyai sift-sifat tersediri yang tergantung dari jenis penyebaran data. Jika penyebaran data mempunyai distribusi frekuensi yang simetris terhadap rata-rata, maka nilai dari ketiga nilai tengah adalah sama.
Varian merupakan pengukuran variasi sekitar mean. Varian diberikan oleh suatu nilai yang menunjukkan tingkat variabilitas perbedaan data. Karena nilai rata-rata sering kali belum dapat memberikan cukup informasi yang tepat mengenai parameter rata-rata sebagai nilai tengah, maka diperlukan adanya ukuran tingkat variabilitas data tersebut.
Korelasi adalah suatu nilai yang menyatakan hubungan antar variabel. Jika dua variabel mempunyai korelasi, maka kedua variabel random yang tidak saling bebas. Ukuran erat tidaknya hubungan antra dua variabel ditunjukkan oleh koefisien korelasi. Dengan dikethuinya koefisien korelasi, maka dapat diketahui tingkat hubungan antara satu variabel dengan variabel lain.
DISTRIBUSI STATISTIK
1. Distribusi Bernoulli
• Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:
– Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”
– Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1 – p
Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana p adalah probabilitas “sukses” dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut:
atau
beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi Bernoulli.
Mean (Nilai Harapan):
Varians
Kemencengan (skewness)
Keruncingan (kurtosis)
Contoh 2
Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti bersama dengan cartridgenya. Data yang ada selama ini menunjukkan bahwa 30% mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika variabel acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut
Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter p = 0,3. Dinotasikan:
atau
2. Distribusi Binomial
• Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
– percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali
– setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai gagal dan sukses
– probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain
– percobaan yang berulang adalah saling bebas
Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p. Maka distribusi probabilitas variabel acak binomial X, jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh
dimana . Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif dinyatakan sebagai:
Distribusi binomial memiliki rata-rata, variansi, standar deviasi, keofisien kemiringan, dan koefisien keruncingan sebagai berikut:
a. mean
b. variansi
c. standar deviasi
d. keofisien kemiringan
e. koefisien keruncingan
Contoh:
Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap uji-kejut adalah ¾. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan.
Penyelesaian:
Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p=3/4 untuk masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan
Contoh:
Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui terkena penyakit ini, berapakah probabilitas (a) paling tidak 10 selamat, (b) dari 3 sampai 8 selamat, dan (c) tepat 5 selamat?
Penyelesaian:
(a)
(b)
(c)
3. Distribusi Poisson:
digunakan apabila menghitung jumlah peristiwa yang terjadi pada kurun waktu tertentu atau luasan tertentu. (kata kuncinya: jumlah benda)
jenis datanya diskrit
contoh: jumlah mobil yang melintas pintu tol setiap jam ; jumlah ikan yang terjaring setiap luasan 1 m2
• Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numerik suatu variabel acak X, jumlah keluaran yang terjadi selama suatu selang waktu yang diketahui atau di dalam suatu daerah (ruang) yang ditentukan disebut sebagai percobaan Poisson. Sifat-sifat proses Poisson adalah:
– jumlah keluaran yang terjadi di dalam satu selang waktu atau daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi di dalam setiap selang waktu atau daerah ruang yang tak berhubungan lainnya. Dapat disimpulkan bahwa proses Poisson tidak memiliki memori
– probabilitas bahwa sebuah keluaran tunggal akan terjadi selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah kecil sebanding dengan lama waktu atau ukuran daerah itu dan tidak bergantung pada jumlah keluaran yang terjadi di luar selang waktu atau daerah ini
– probabilitas bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi di dalam suatu selang waktu yang singkat atau jatuh pada suatu daerah yang kecil semacam itu dapat diabaikan
Distribusi probabilitas variabel acak Poisson X, yang mewakili jumlah keluaran yang
terjadi di dalam suatu selang waktu yang diketahui atau daerah yang ditentukan yang
ditunjukkan oleh t diberikan oleh
Dengan maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai
Distribusi Poisson adalah pendekatan yang baik untuk distribusi Binomial untuk n yang
besar dan p yang kecil sekali. Pendekatan distribusi Binomial sebagai distribusi Poisson
bila .
Contoh:
Contoh yang mudah menggambarkan eksperimen Poison adalah pada peristiwa emisi dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita hitung jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju rata-rata emisi partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Jika kemudian kita ingin memperkirakan probabilitas banyaknya x partikel yang terdeteksi dalam selang satu detik, PP(X=x) atau pP(x), fungsi probabilitas Poisson dapat dipakai. Sebagai contoh jika laju rata-rata adalah = 3 partikel perdetik, maka probabilitas banyaknya 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran adalah:
Contoh:
Sepuluh adalah jumlah rata-rata kapal tangki minyak datang setiap hari di sebuah banda tertentu. Fasilitas pada pelabuhan itu dapat menangani paling banyak 15 kapal tangki per hari. Berapa probabilitas pada suatu hari yang diketahui tanker-tanker harus berbalik arah?
Penyelesaian:
Misalkan X sebagai jumlah kapal tangki yang datang setiap hari. Kemudian, dengan menggunakan tabel A.2, kita dapatkan
Contoh:
Di dalam proses produksi dimana produk kaca dihasilkan, terjadi cacat atau gelembung, yang kadang-kadang menyebabkan produk yang tidak diinginkan untuk pemasaran. Diketahui bahwa, rata-rata, 1 dalam setiap 1000 barang yang dihasilkan ini mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapakah probabilitas sebuah contoh acak yang berisi 8000 akan membuahkan kurang dari 7 barang mempunyai gelembung?
Penyelesaian:
Ini adalah sebuah percobaan binomial dengan n = 8000 dan p = 0,001. Karena p sangat mendekati nol dan n sangat besar, kita akan memperkirakannya dengan sebaran Poisson dengan menggunakan
Sehingga, bila X mewakili jumlah gelembung, kita dapatkan
4. Distribusi Seragam (Uniform)
Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit adalah probabilitas distribusi diskrit yang paling sederhana.
Bila variabel acak X mengambil nilai-nilai x1, x2, … , xk dengan probabilitas yang sama, maka probabilitas
distribusi diskrit diberikan oleh
Mean dan variansi distribusi seragam diskrit f(x;k) masing-masing diberikan oleh:
Contoh 1
Bila sebuah dadu dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} terjadi dengan probabilitas 1/6. Sehingga kita mempunyai sebaran sevariansi dengan
kita dapatkan bahwa
dan
5. Distribusi Normal:
sebaran data mengumpul pada harga rata-rata
6. Distribusi Eksponensial:
digunakan pada saat menghitung peristiwa sambil menunggu (kata kuncinya: waktu)
tipe data kontinu
contoh: berapa selang waktu antar mobil yang lewat di pintu tol
Tidak ada komentar:
Posting Komentar